Matematica I

martes, 28 de febrero de 2017

Ecuaciones Lineales

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales pueden contener variables (letras para indicar valores desconocidos), coeficientes (números unidos a las variables mediante multiplicación) y constantes (números solos) combinados con operaciones algebraicas.

Una ecuación lineal se gráfica como una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular. pueden contener variables (letras para indicar valores desconocidos), coeficientes (números unidos a las variables mediante multiplicación) y constantes (números solos) combinados con operaciones algebraicas. Estas ecuaciones no incluirán exponentes ni raíces. Una ecuación lineal se gráfica como una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular.

Ejemplos:

3x+5=4

3x=4-5

x=-1/3

8x-3x=x-16

Resultado de imagen para ecuaciones lineales

8x-3x-x=-16

4x=-16

x=-16/4

x=-4

Trinomio Cuadrado Perfecto

Trinomio Cuadrado Perfecto.

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos )tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro termino es el doble producto de las bases de esos cuadrados

Condiciones para que sea Trinomio Cuadrado Perfecto.

*3 términos.

*Primer y tercer termino tenga raíz exacta.

*Primer y tercer termino sean positivos.

*El segundo sea el doble de la primera raíz por la tercera.

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplos

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Este tipo de trinomio tiene las siguientes características:

Tienen un termino positivo elevado al cuadrado y con coeficiente 1 ().

Posee un termino que tiene la misma letra que el termino anterior pero elevada a 1 (bx) (puede ser negativo o positivo).

Tienen un termino independiente de la letra que aparece en los otros dos (+ o -).

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino .

El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio.

Ejercicios

x² + 5 x + 6

a² – 2 a –15

Trinomios de la forma ax2+bx+c

En este trinomio hay que tener en cuenta que el coeficiente que acompaña el primer termino es un m¿numero diferente de 1 2 15m 8m.

Resultado de imagen para ejemplos de trinomio de la forma ax2+bx+c

Factor común

Que es factor común.

Se conoce como factor común al numero entero que sea múltiplo de los dos numeros un binomio

El máximo factor común es simplemente el máximo de los factores o el mayor de los factores comunes

El mínimo factor común es el contrario del máximo factor común por lo tanto es el mínimo de los factores comunes

Ejemplo de factor común:

8a - 4b + 16c + 12d = 4. ( 2a - b + 4c + 3d)

Ejemplos

Diferencia de cuadrados.

Los dos terminos son cuadrados.Las bases son x y 3 .Se factoriza multiplicando la suma de las bases por la resta de las bases.

Por agrupación

PROCEDIMIENTO.

1* Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común,

separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.

2* La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que

los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las

cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común

en cada grupo, sean exactamente iguales.

3* Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común

Polinomio.

Ejemplos :

a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)

b) 3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)

Binomios que son una suma o diferencia de cubos.

1. Factorizacion de suma o diferencia de cubos :
Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.
Para factorizar una diferencia de cubos se hace de la siguiente forma:

a³ – b³= (a – b) (a²+ ab + b²)

Primero se saca la raíz cubica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, en este caso una resta, ambos miembros quedan como un solo factor, encerrados en un paréntesis. Después en el siguiente factor o paréntesis se coloca, el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, en este caso en el primer paréntesis se realizaba una resta, así que la operación contraria es una suma, producto de los dos términos del paréntesis anterior. Después se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis elevado al cuadrado.

Realizamos la comprobación:

(a – b) (a²+ ab + b²) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² – b³ = a³ – b³

Para factorizar una suma de cubos se hace de la siguiente forma:

a³ + b³= (a + b) (a²- ab + b²) Primero se saca la raíz cubica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, en este caso una suma, ambos miembros quedan como un solo factor, encerrados en un paréntesis. D

Realizamos la comprobación:

(a + b) (a²- ab + b²) = a³ - a²b - ab² + a²b + ab² + b³ = a³ + b³
Después en el siguiente factor o paréntesis se coloca, el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, en este caso en el primer paréntesis se realizaba una suma, así que la operación contraria es una resta, producto de los dos términos del paréntesis anterior. Después se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis elevado al cuadrado.

Resultado de imagen para binomios que son la suma o diferencia de cubos

lunes, 27 de febrero de 2017

Expresiones Algebraicas

Que son las Expresiones Algebraicas.

Es cualquier combinación de letras y números ligados por las operaciones elementales de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las letras, que suelen representar cantidades desconocidas, se denominan variables o incógnitas y los números coeficientes.

Resultado de imagen para monomio binomio trinomio

un polinomio es de cuatro términos en adelante

*valor numérico

Ejemplo:
2x+x2+3=

(2·4)(4.2)+3 =7 es el valor numérico (para X = 4)

*Suma de expresiones algebraicas

Términos semejantes :significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal. Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Ej: 2x+7x=9x

12n+8n=20n

Imagen relacionada

*Resta de expresiones algebraicas

Tanto la suma y la resta se puede efectuar si son términos semejantes

Ej: 3x-5x=-2x o restar de 5x-3x=2x

Resultado de imagen para terminos semejantes

Resultado de imagen para terminos semejantes

*Multiplicación de expresiones algebraicas

No es necesario que los términos sean semejantes

Ej:

Resultado de imagen para multiplicacion y division de expresiones algebraicas

Resultado de imagen para multiplicacion y division de expresiones algebraicas

Multiplicación monomio por binomio
(los exponentes se suman)

Resultado de imagen para multiplicación de monomios por binomios

Binomio por binomio (los exponentes se suman )

Resultado de imagen para multiplicación de binomio por binomio

Trinomio por trinomio

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por

División de expresiones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

En la división algebraica los exponentes se restan .

Resultado de imagen para division de expresiones algebraicas ejemplos resueltos

*Operaciones combinadas

Es una expresión formada por números en operaciones diversas y agrupados de formas diversas mediante paréntesis, corchetes y llaves. Para resolver operaciones combinadas debemos dominar todo lo estudiado anteriormente. - La misión de los paréntesis es la de unir o "empaquetar" aquello a lo que afectan.

Resultado de imagen para operaciones combinadas

Tres pasos para poder resolver operaciones combinadas.

Paso 1: Realizamos las operaciones que estén dentro de los paréntesis.

Por ejemplo: 3 x ( 2 + 4 )

Primero hacemos la operación de dentro del paréntesis: 2 + 4 = 6

Después realizamos la operación: 3 x 6 = 18

Paso 2: Hacemos las multiplicaciones y divisiones, siempre de izquierda a derecha.

Por ejemplo: 24 : 6 x 2

Primero realizamos la división porque está mas a la izquierda que la multiplicación: 24 : 6 = 4

Después hacemos la multiplicación: 4 x 2 = 8

Paso 3: Por último, hacemos las sumas y restas.

Por ejemplo: 2 + 3 x 5

Primero hacemos la multiplicación: 3 x 5 = 15

Después hacemos la suma: 2 + 15 = 17

Resultado de imagen para que son las operaciones combinadas

5x-[7x+(5-2x)]-[6-3(x-2)]
5x-[7x+5-2x]-[6-3x+6]
5x-7x-5+2x-6+3x-6
R/= 3x-17

8x-3[8x+3(5-4x)]- [5x-3(6x-3)]
8x-3[8x+15-12x]-[5x-18x+9]
8x-24x-45+36x-5x+18x-9
R/= 33X-54

Exponentes y Radicales

¿Que es un exponente?

El exponente de un número nos dice cuantas veces se usa el numero en una multiplicación

Ej: 8² = 8 × 8 = 64 .

*Leyes de los exponentes

Las tres primeras leyes (x¹ = x, x⁰ = 1 y x^-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes.

La ley que dice que x^mxⁿ = x^m+n

En x^mxⁿ, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n" veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x²x³ = (xx) × (xxx) = xxxxx = x⁵

Así que x²x³ = x⁽²⁺³⁾ = x⁵

La ley que dice que x^m/xⁿ = x^m-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x^4-2 = x⁴/x² = (xxxx) / (xx) = xx = x²

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x⁰=1 :

Ejemplo: x²/x² = x^2-2 = x⁰ =1

La ley que dice que (x^m)ⁿ = x^mn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.

Ejemplo: (x³)⁴ = (xxx)⁴ = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x¹²

Así que (x³)⁴ = x^3×4 = x¹²

La ley que dice que (xy)ⁿ = xⁿyⁿ

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en este ejemplo:

Ejemplo: (xy)³ = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x³y³

La ley que dice que (x/y)ⁿ = xⁿ/yⁿ

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)³ = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x³/y³

La ley que dice que

Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?

Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 9¹ = 9)

Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 9⁰ = 1)

El extraño caso de 0⁰

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0⁰ podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

	x⁰ = 1, así que ...	0⁰ = 1
	0ⁿ = 0, así que ...	0⁰ = 0
	Cuando dudes...	0⁰ = "indeterminado"

Exponentes fraccionarios

$Resultado de imagen para exponente fraccionario ejercicios$

También se llaman "radicales"

¿Que es un radical ?

Cuando no puedes simplificar un número para quitar una raíz cuadrada (o una raíz cúbica, etc.) entonces es un radical.

Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente del radicando.

propiedades delos radicales

1- ) Raíz de un producto: La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.

$\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Ej: $\sqrt{3^2 \cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12.$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12.$

2- ) Raíz de un cociente: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}$ = $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Ejemplo

$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ = $\frac{3}{2}.$

3- ) Raíz de una raíz: Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ = $\sqrt[n \cdot m]{a}.$

Ejemplo

$\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}$ = $\sqrt[27]{5}.$

4- ) Potencia de una raíz: Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

$\left(\sqrt[n]{a} \right)^m =\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Ejemplo

si 3 y 4

$\left(\sqrt[4]{x} \right)^3 = \sqrt[4]{x^3}$ = $\ x^{\frac{3}{4}}.$

5- ) Potencia de un producto: La raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}} = a^{\frac{m+n}{mn}} = \sqrt[m \cdot n]{{a}^{m +n}}$

martes, 28 de febrero de 2017

Ecuaciones Lineales

Trinomio Cuadrado Perfecto

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Factor común

lunes, 27 de febrero de 2017

Expresiones Algebraicas

Exponentes y Radicales

La ley que dice que xmxn = xm+n

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3

La ley que dice que (x/y)n = xn/yn

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3